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Regras locais e a solução de problemas envolvendo geodésicas

Kawano, Alexandre
2001-03-01

Resumo em português O problema de se determinarem as geodésicas de uma superfície é um tópico da Geometria Diferencial e Cálculo Tensorial. Tradicionalmente, o problema, posto em termos do comprimento de uma linha, é colocado, por meio de manipulações analíticas, em forma de uma solução de um sistema de equações diferenciais parciais acopladas de difícil solução. A Teoria da Complexidade propõe uma maneira inversa de se interpretar a natureza, primeiro modelando regras locai (mais) s simples, que agentes elementares devem seguir, e, a partir das interações entre eles, chegar ao comportamento do todo. Nesse trabalho, uma regra local baseada no Princípio de Huygens é proposta, e com ela é possível se acharem geodésicas de uma superfície. Usando essa regra, problemas considerados difíceis podem ser resolvidos de maneira intuitiva. Resumo em inglês The problem of finding geodesics of a surface is a topic of Differential Geometry and Tensor Calculus. Traditionally, by means of analytical manipulation, the problem originally put in terms of length of a line is restated into a set of coupled partial differential equations of difficult solution. Complexity theory proposes the reverse way of viewing nature, first stating simple local rules that elementary agents must follow, and then from the interactions at the local le (mais) vel, to predict the behavior of the whole. In this paper a local rule based on the Huygens Principle is proposed that can be used to find geodesics of any surface. By using the rule, problems once considered difficult can be solved in an intuitive way.

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Equivalência entre o princípio variacional de Maupertuis, a segunda lei de Newton e a geometria conforme/ Equivalence among Maupertuis' variational principle, Newton's second law and conformal geometry

Rocha, Roldão da
2005-09-01

Resumo em português As aplicações da geometria diferencial na física não estão restritas somente à teoria da relatividade geral. Esse artigo é dedicado a mostrar uma das diversas aplicações dos métodos geométricos a um conceito físico elementar e ao mesmo tempo profundo: a segunda lei de Newton. Mostramos como obter o princípio variacional de Maupertuis usando a segunda lei de Newton. Investigamos também, de maneira compreensiva e pedagógica, a dualidade entre a mecânica clá (mais) ssica e a geometria conforme, ao mostrar que o princípio variacional de Maupertuis é equivalente ao problema de se minimizar o comprimento de arco de geodésicas na geometria conforme. Finalmente discutimos algumas generalizações e obtemos a dualidade, respectivamente entre o problema de três corpos e o sistema acoplado de n partículas, e as respectivas métricas conformes que munem a geometria associada a cada um desses cenários descritos por sistemas físicos. Resumo em inglês Applications of differential geometry in physics are not uniquely restricted to general relativity. This paper is devoted to show one of the many possible applications of geometrical methods to an elementary but deep physical concept: the Newton's second law. We show how to obtain Maupertuis' variational principle by using Newton's second law. We also investigate, in a comprehensive and pedagogical way, the duality principle between classical mechanics and conformal geome (mais) try, exhibiting the equivalence between Maupertuis' variational principle and the problem of minimizing the geodesics arc length in conformal geometry. Finally we discuss some possible generalizations and obtain the duality, respectively between the three body problem and a coupled system of n particles, and the respective conformal metrics that endow the geometry associated with each one of the scenarios described by physical systems.

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