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O Fenômeno de Transição de Fase no Modelo de Percolação de Elos* em d Dimensões

Oliveira, Marcelo Martins de; Braga, Gastão A.
2002-01-01

Resumo em português Este trabalho trata, de maneira rigorosa, auto-contida e acessível a um aluno de graduação em física e áreas afins, do fênomeno de transição de fase num modelo de percolação de elos independentesna rede hipercúbica d-dimensional. Esses modelos são freqüentemente utilizados para descrever situações de interesse físico. O fenômeno da "percolação" ocorre quando encontramos um aglomerado infinito em nossa rede. A mudança que ocorre ao se passar de um estad (mais) o em que existem somente aglomerados finitos para o estado em que há o surgimento de um aglomerado infinito é o análogo geométrico de uma transição de fase em mecânica estatística. Mostramos que a transiçãode fase ocorre, para redes hipercúbicas em dimensão d > ou = 2, em um ponto bem definido, chamado de ponto crítico, e que podemos associar um parâmetro de ordem a esta transição de fase. Dentreos modelos da Física que apresentam o fenômeno de transição de fase, o modelo de percolação é provavelmente o mais simples. Ao mesmo tempo, ele exemplifica e deixa clara a conexão que muitas vezes encontramos entre áreas da física, da matemática e da probabilidade. Resumo em inglês In this paper we study phase transition phenomena in an independent edge percolation model on a d-dimensional hyper-cubic lattice. The subject is treated in a rigorous, self-contained and accessible way for undergraduate students in physics and related areas. These models are often used to describe situations of physical interest. The "percolation phenomena" occur when we find an infinite cluster in the lattice. The change from a state where there are only finite clusters (mais) to a state with at least one infinity cluster is the geometric analogous of a phase transition as known in statistical mechanics. We show that the phase transition occurs, for hyper-cubic lattices in dimension d > or = 2, in a well-defined point, known as the critical point. We can associate an order parameter to this phase transition. Among all the physical models that present a phase transition, the percolation model is probably one of the simplest. At the same time, it is a good example of the connection that sometimes we find relating physics, mathematics and probability.

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